如何用最小二乘法拟合直线

1. 如何用最小二乘法拟合直线

x=[1 2 3 4 5 6];
y=[2.1 3.9 6.1 8.2 10.3 12];
nh1=polyfit(x,y,2);%这里是二次拟合，你也可以先画出大概图形 估计它是几次曲线然后再判断是1 2 还是3.。。等。
m=1:.5:6;%m是根据散点x来定的。
nh2=polyval(nh1,m);
plot(x,y,'+',m,nh2)

这是拟合图形

用最小二乘法求值就是用最小二乘法所导出的正规方程组的矩阵形式来求。
根据题意求一次拟合系数如下：

for i=1:6
for j=1:2
A(i,j)=i.^(j-1)
end
end
K=A'*A;
Final=K'*A'*y'
求出的第一个数为b，第二个是k 
程序没运行过 大概思想是这样的

2. 最小二乘法的线性拟合

题中所给数据可表示为y(x)，即x=1、2、3、...、19，y(1)=0.898、y(2)=2.38、...、y(19)=81.8(见题);令Δ(x)=ae^(bx)-y(x)①，方差D=∑(x=1→19)[Δ(x)]^2②;②式分别对a、b求偏导，ðD/ða=2∑(x=1→19)Δ(x)e^(bx)③;ðD/ðb=2a∑(x=1→19)xΔ(x)e^(bx)④;令ðD/ða=0、ðD/ðb=0，则③、④变为:a∑(x=1→19)e^(2bx)=∑(x=1→19)y(x)e^(bx)⑤;a∑(x=1→19)xe^(2bx)=∑(x=1→19)xy(x)e^(bx)⑥;联立⑤、⑥即可求得a、b;⑤、⑥为超越方程，求解析解很困难，采用数值解法得:a≈0.23688176、b≈0.30897789，均方差=√D≈8.6553、最大偏差(绝对值)≈5.34(发生在x=17时)。

3. 最小二乘法拟合曲线

曲线函数求出来之后就只可带横坐标算纵坐标了对应描点连线就可以了，编辑框 把编辑框的句柄传入onpaint中就可以绘图了。
help polyfit。
POLYFIT Fit polynomial to data。
POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of。
degree N that fits the data, P(X(I))~=Y(I), in a least-squares sense。
The structure S contains the Cholesky factor of the Vandermonde。
matrix (R), the degrees of freedom (df)，and the norm of the。
residuals (normr) as fields。

工程设计
所得到的数据往往是一张关于离散数据点的表 ，没有解析式来描述 x-y关系。根据所给定的这些离散数据点绘制的曲线，称为不规则曲线，通常用曲线拟合的方法解决这类问题。
所谓曲线拟合方法是由给定的离散数据点，建立数据关系(数学模型)，求出一系列微小的直线段把这些插值点连接成曲线，只要插值点的间隔选择得当，就可以形成一条光滑的曲线。

4. 最小二乘法拟合直线公式

A=y - -b*x -
最小二乘法可以帮助我们在进行线性拟合时，如何选择“最好”的直线。

要注意的是，利用实验数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果，从理论上说，数据越多，效果越好，即所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系。

一般地，我们可以先作出样本点的散点图，确认线性相关性，然后再根据回归直线系数的计算公式进行计算。
刻画样本点 与直线y=a+bx之间的“距离”——
思考：①这个“距离”与点到直线的距离有什么关系？
很显然，这个式值越小，则样本点与直线间的距离越小。
②为什么不直接利用点到直线的距离来刻画样本点与直线之间的距离关系？

5. 最小二乘法拟合曲线

最小二乘法多项式曲线是根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y=φ(x)。按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
为了使其尽可能反映所给数据的变化趋势，我们可以要求偏差的绝对值尽可能小，甚至是所有偏差中的最大值尽可能小。我们可以通过使选取的近似曲线在节点xi处的偏差的平方和达到最小来实现这一目标，这一原则就是最小二乘原则。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

6. 用最小二乘法拟合直线方程，

y = 2.5x - 5002.9    (1)
R^2 = 0.9889         (2)
y(2014)= 32.1        (3) 
2014年的产量为：32.1 万吨。

7. 最小二乘法的拟合

对给定数据点集合，在取定的函数类中，求，使误差的平方和最小，。从几何意义上讲，就是寻求与给定点集的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 最小二乘法的矩阵形式最小二乘法的矩阵形式为：其中 为 的矩阵， 为 的列向量， 为 的列向量。如果 （方程的个数大于未知量的个数），这个方程系统称为矛盾方程组（Over Determined System），如果 （方程的个数小于未知量的个数），这个系统就是Under Determined System。正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 ，解出其中的 。比较直观的做法是求解 ，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对 进行QR分解（ ），其中 是 正交矩阵（Orthonormal Matrix）， 是 上三角矩阵（Upper Triangular Matrix），则有  用MATLAB命令  x=R\(Q\b)可解得 。 最小二乘法的Matlab实现① 一次函数线性拟合使用polyfit（x,y,1）②多项式函数线性拟合使用 polyfit（x,y,n），n为次数拟合曲线x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。解：MATLAB程序如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.5:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560③非线性函数使用lsqcurvefit(fun,x0,x,y) a=nlinfit(x,y,fun,b0)最小二乘法在交通运输学中的运用交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。 回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析，建立因变量和自变量的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变量，X是自变量，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标 i 标记所有变量；如果用它研究分区交通吸引，则以下标 j 标记所有变量。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解，上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得：其中，式中的X拔是规划年的自变量值，Y拔是规划年分区交通生成（或吸引）预测值。

8. 最小二乘法拟合

a=2  -3794.2