有限差分法
2024-05-07 04:02
1. 有限差分法
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程。然后，解出差分方程组（线性代数方程组）在各离散点上的函数值，便得边值问题的数值解。 现以二维等步长差分格式为例，说明有限差分法的原理和方法步骤。 1.区域离散化，作网格剖分 图1⁃4⁃1 二维等步长正方形网络 如图1⁃4⁃1所示，用平行于坐标轴的两组直线族将地下划分成正方形网格，相邻两坐标线的距离为h，则任一点的x、z坐标为 x=ih（i=0，1，2，…，M） z=kh（k=0，1，2，…，N） 每个正方形为一单元，其边长h称为步长，网格的交点称为节点。任一节点的坐标（x，z）可表示为（ih，kh），或简化为（i，k），用阶梯状折线代替原来的曲线段。在边界线以内的节点称为内节点，边界上的节点称为边界节点。 2.微分方程离散化，构组差分方程 某一内节点（i，k）处的电位为U（i，k），由于h很小，可将节点（i，k）四周的电位在节点处展成泰勒级数： 地电场与电法勘探 地电场与电法勘探 地电场与电法勘探 地电场与电法勘探 式中Ux，Uxx，……和Uz，Uzz，……分别表示U对x和z的一阶导数、二阶导数等。将前两个式子相加，并且忽略h的四次项与更高次项，经整理可得： 地电场与电法勘探 同理得： 地电场与电法勘探 将上述Uxx和Uzz代入含源分区均匀岩石中位函数U所满足的微分方程（1⁃4⁃16）的第二式，即得二维函数U（x，z）的差分方程： U（i+1，k）+U（i，k-1）+U（i-1，k）+U（i，k+1）-4U（i，k）=h2f（1⁃4⁃18） 对于无源分区均匀介质，位函数 U（x，z）所满足的微分方程（1⁃4⁃17）的差分方程为 U（i+1，k）+U（i，k-1）+U（i-1，k）+U（i，k+1）-4U（i，k）=0（1⁃4⁃19） 3.线性方程组的形成与求解 对于边界节点，其相应的差分方程可根据边界条件给出。全部结点所建立差分方程（1⁃4⁃18）和（1⁃4⁃19）的总和可分别写成以下矩阵形式： 〔A〕·｛U｝=｛F｝（1⁃4⁃20） 和 〔A〕·｛U｝=0（1⁃4⁃21） 〔A〕是方程组的系数矩阵，它是与电阻率分布有关的函数；｛U｝是电位U的列向量，其分量为所有节点上的电位；｛F｝是常向量。当给定电阻率分布及边界条件后，解线性方程（1⁃4⁃20）和（1⁃4⁃21），便可求得电位的空间分布。 电位｛U｝值的计算精度与步长h的大小有很大关系。一般说来，网格划分越细，即h值越小，｛U｝值与理论值就越接近。但是此时节点数目也急剧增加，因而所需的计算机内存和计算时间也就会增大。解决计算速度与精度这一矛盾的较好方法是采用变步长，即在近区将网格分得密些，远区影响较小可分得稀些。
2. 有限差分法
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程。然后，解出差分方程组（线性代数方程组）在各离散点上的函数值，便得边值问题的数值解。 现以二维等步长差分格式为例，说明有限差分法的原理和方法步骤。 1.区域离散化，作网格剖分 如图1-4-1所示，用平行于坐标轴的两组直线族将地下划分成正方形网格，相邻两坐标线的距离为h，则任一点的x、z坐标为 图1-4-1 二维等步长正方形网络 地电场与电法勘探 每个正方形为一单元，其边长h称为步长，网格的交点称为节点。任一节点的坐标（x，z）可表示为（ih，kh），或简化为（i，k），用阶梯状折线代替原来的曲线段。在边界线以内的节点称为内节点，边界上的节点称为边界节点。 2.微分方程离散化，构组差分方程 某一内节点（i，k）处的电位为U（i，k），由于h很小，可将节点（i，k）四周的电位在节点处展成泰勒级数： 地电场与电法勘探 式中Ux，Uxx，……和Uz，Uzz，……分别表示U对x和z的一阶导数、二阶导数等。将前两个式子相加，并且忽略h的四次项与更高次项，经整理可得： 地电场与电法勘探 同理得： 地电场与电法勘探 将上述Uxx和Uzz代入含源分区均匀岩石中位函数U所满足的微分方程（1-4-16）的第二式，即得二维函数U（x，z）的差分方程： 地电场与电法勘探 对于无源分区均匀介质，位函数U（x，z）所满足的微分方程（1-4-17）的差分方程为 地电场与电法勘探 3.线性方程组的形成与求解 对于边界节点，其相应的差分方程可根据边界条件给出。全部结点所建立差分方程（1-4-18）和（1-4-19）的总和可分别写成以下矩阵形式： 地电场与电法勘探 和 地电场与电法勘探 〔A〕是方程组的系数矩阵，它是与电阻率分布有关的函数；｛U｝是电位U的列向量，其分量为所有节点上的电位；｛F｝是常向量。当给定电阻率分布及边界条件后，解线性方程（1-4-20）和（1-4-21），便可求得电位的空间分布。 电位｛U｝值的计算精度与步长h的大小有很大关系。一般说来，网格划分越细，即h值越小，｛U｝值与理论值就越接近。但是此时节点数目也急剧增加，因而所需的计算机内存和计算时间也就会增大。解决计算速度与精度这一矛盾的较好方法是采用变步长，即在近区将网格分得密些，远区影响较小可分得稀些。
3. 有限差分法的概述
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
4. 有限差分法的介绍
有限差分方法（finite difference method）一种求偏微分（或常微分）方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。
5. 有限差分法的原理
以连续性原理与达西定律为基础，对任何复杂的地下水流系统都可以建立其相应的数学模型，即地下水运动的微分方程和决定其解的初、边值条件。但数学模型如何求解，常取决于地下水流系统水文地质条件概化的程度。 2.6.1.1离散化 有限差分法解地下水流系统的实质，是把要研究的渗流区域按一定的方式剖分(离散)成许多但有限的小均衡域。在一定的精度要求下，每个小均衡域内各种参数视为常数，小均衡域内的水头以其中心的水头为其代表，相邻小均衡域间的水头变化近似看做是线性的。把所要研究的渗流区域按一定方式剖分成许多但有限的小均衡域称为对渗流区域的离散化。若以二维渗流区域为例，最简单的剖分是用两组相互正交的平行线把渗流区域剖分成许多矩形小均衡域。剖分约定:第一类边界从小区域的中心经过;第二类边界与小均衡域的边界重合。小均衡域的中心叫节点(或结点)，可用适当的方法标定小均衡域及相应节点的编号。习惯作法是，将横向的网格叫行，另一个方向的叫列，行与列均顺序编号。于是位于第j行与第i列相交处的小均衡域及节点统一记为(i，j)。沿行与列的网格格距用Δx、Δy表示，叫空间步长。对于二维非稳定流来讲，可取第三个坐标为时间t，若以Δt表示时间间隔，将二维网格按Δt向上重复而形成一个三维网格系，此时的小均衡域为一立方体，位于第m层的小均衡域及节点统一记为(i，j，m)。有限差分法所要计算的是(i，j)或(i，j，m)得近似值。 2.6.1.2地下水流的有限差分方程 以承压水二维流为例建立有限差分方程。从离散化的渗流区域中取出一个小均衡域，如图2.1。 图2.1小均衡域图 模型的假设条件:①地下水流为承压水;②小均衡域除侧向径流外，无其他流量交换;③网格沿行及列分别为等距的，但行距与列距可以不等，且分别记为ΔX与ΔY;④离散点上的近似水头值以h表示。 根据达西定律可算得小均衡域(i，j)在某瞬时的四个侧向径流量分别为: 1)沿右侧流入: 煤矿水害防治与管理 2)沿左侧流入: 煤矿水害防治与管理 3)沿下部流入: 煤矿水害防治与管理 4)沿上部流入: 煤矿水害防治与管理 单位时间流入小均衡域的总侧向径流量Qt为: 煤矿水害防治与管理 假定Δt时间内，小均衡域的水头抬高Δh，小均衡域增加的水量Qs为: 煤矿水害防治与管理 式中:Si，j—小均衡域(i，j)的储水系数。 据质量守恒有:Qt=Qs 煤矿水害防治与管理 此式为非均质各向异性承压含水层二维非稳定流有限差分方程。 由此可以看出，有限差分方程实际上是基本偏微分方程的近似表达式，其近似的程度可通过泰勒级数来加以研究。由于地下水头曲面一般来说是连续而光滑的，于是在剖分网格中根据泰勒公式可以写出: 煤矿水害防治与管理 或 煤矿水害防治与管理 由式(2.2)得: 煤矿水害防治与管理 其中: 煤矿水害防治与管理 由此可知，用差商 代替导数 所产生的误差o(Δx)。o(Δx)表示误差中占主导地位的是含ΔX的项，叫一阶误差。用差商代替导数时o(Δx)是被舍去的，因此o(Δx)又称截断误差。在式(2.4)中处于x方向的i+1号在i号的前面，因此将 叫前向差商。同样可定义后向差商为: 煤矿水害防治与管理 其中: 煤矿水害防治与管理 由式(2.2)与式(2.3)还可以得: 煤矿水害防治与管理 其中: 煤矿水害防治与管理 称为中心差商。由上式可见用中心差商代替导数要比后向差商或前向差商代替导数的精度提高了一阶。 同样，二阶偏导数也可以用差商来近似代替: 煤矿水害防治与管理 可以类似地写出用差商近似水头对时间的导数，比如: 煤矿水害防治与管理 在渗流区域内，每一个节点都可以建立一个类似于式(2.1)的方程，从而组成有限差分方程组。如果ΔX、ΔY、Δt取得足够小，可望解此方程组而得到足够精确地近似值。 2.6.1.33种主要差分格式 在式(2.1)中，等号左端的Δh用hi，j，m+1－hi，j，m代替时，对于等号右端项，可取m+1时刻，也可取m时刻，也可取m和m+1时刻的平均值。 当右端项取m+1时刻的水位时，为隐式差分格式: 煤矿水害防治与管理 当右端项取m时刻的水位时，为显式差分格式: 煤矿水害防治与管理 当右端项取m和m+1时刻的平均值时，为中心差分格式或对称差分格式: 煤矿水害防治与管理
6. 有限差分法的差分方法的发展和应用
前面阐述了两个自变量，线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量，非线性的方程或方程组；它们还可能是混合型的偏微分方程（如机翼的跨声速绕流），其解包含着各种问断（如激波间断、接触间断等）。非线性问题的差分法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展，在解决各种非线性问题中，差分法得到了很快的发展，并且出现了许多新的思想和方法，如守恒差分格式，时间相关法，分步法等。 把定常的微分问题用一个相应的非定常问题来代替，然后用差分法解后者的初值问题，要求当时，它的稳定解为原来问题的解，这类方法叫作时间相关法。实践上，当计算时间足够大时，就能得到满足给定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一边值问题： 可以用热传导方程的初边值问题：来代替。若用显式格式计算（27），可避免解大型代数方程组。特别是当微分方程的类型在定解区域内发生变化时，可只用一种类型来算，而使问题大大化简。这种方法在定常问题中广泛使用。缺点是达到定常解的计算时间较长，有待改进。 把复杂的问题的每一时间步分解成几个中间步，例如把多维问题按坐标分解为几个一维问题，然后用差分法解这些比较简单的各中间步，最后得到原始问题的近似解，这类方法叫作分步法。交替方向法、预估-修正法，时间分裂法、因式分解法等都属此类。以二维抛物型方程定解问题：为例，用显式格式求解，时间步长受稳定性条件：的限制，用隐式格式，则归结为大型线性代数方程组，解起来比较麻烦。1955年皮斯曼-拉什福德提出交替方向隐式格式： （i=1，2，…，N－1，j=1，2，…，M－1；n=0，1，2，…） 为中心差分算符，第一步x方向取隐式，y方向取显式，第二步则相反。两步合成无条件稳定的格式。由于每一步可用追赶法求解，大大简化了解法。交替方向法出现后，进一步发展了各种形式的分步格式，并可推广到任何维数的方程或方程组的情形，困难在于边界条件的处理。有限差分方法已成为解各类数学物理问题的主要数值方法，也是计算力学中的主要数值方法之一。有些解偏微分问题的方法（如特征线法、直线法）实质上也是差分方法的一种形式。在固体力学中，有限元方法出现以前，主要采取差分方法；在流体力学中，差分方法仍然是主要的数值方法。当然，对于某些具有复杂的几何形状及复杂的流动现象的实际问题，差分方法还有待进一步发展。
7. 有限差分法的参考书目
冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978.胡祖炽编：《计算方法》，高等教育出版社，北京，1959。清华大学、北京大学《计算方法》编与组编：（计算方法），科学出版社，北京，1980。朱幼兰等著：《初边值问题差分法及绕流》，科学出版社，北京，1980。R．D．里奇特迈尔著，何旭初等译：《初值问题差分方法》，科学出版社，北京，1966。（R. D. Richtmyer，Difference Methods for Initial-Value Problems，Interscience Pub.，New York，1957.）R. D. Richtmyer，K. W. Morton，Difference Methods for Initial-Value Problems，2nd ed.，Interscience Pub.，New York，1967.（胡祖炽黄兰洁张耀科）
8. 什么是有限差分算法
有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布. 有限差分法 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。 该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 分类 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式 时域有限差分法在GIS局部放电检测中的应用 1 前言 GIS由于其占地面积小以及高度的可靠性被广泛应用，但也有因为固定微粒、自由微粒以及绝缘子内部缺陷而发生的绝缘故障。一般发生绝缘故障都伴随有局部放电发生，因而局部放电检测是诊断电力设备绝缘状况的有效方法之一。超高频局部放电检测方法因为具有强的抗干扰能力和故障点定位能力而受到制造厂家和研究部门的普遍关注，并且已有部分产品应用于现场。超高频局部放电检测方法一般直接检测出局部放电脉冲的时域信号或者频谱信号，因为不同的研究者所研制的检测用传感器的带宽和检测系统(内部传感器法和外部传感器法)不同，以及传感器和局部放电源的相对位置对检测结果的影响，检测所得结果存在较大差异，缺乏可比性，因此有必要对局部放电信号的传播规律进行研究。 时域有限差分(Finite-Difference Time-Domain)法最早是由KaneS.Yee在1966年提出的，是一种很有效的电磁场的数值计算方法，不需要用到位函数，是一种在时间域中求解的数值计算方法。这种方法被应用于天线技术、微波器件、RCS计算等方面。 本文借助时域有限差分法对252KV GIS内部局部放电所激发的电磁波传播进行仿真，并用外部传感器超高频局部放电检测方法在实验室对252kV GIS固定高压导体上的固定微粒局部放电信号进行实测，仿真结果和实验结果基本一致，为超高频局部放电检测结果提供了有效的理论依据。 2 时域有限差分法 时域有限差分法是一种在时域中求解的数值计算方法，求解电磁场问题的FDTD方法是基于在时间和空间域中对Maxwell旋度方程的有限差分离散化一以具有两阶精度的中心有限差分格式来近似地代替原来微分形式的方程。FDTD方法模拟空间电磁性质的参数是按空间网格给出的，只需给定相应空间点的媒质参数，就可模拟复杂的电磁结构。时域有限差分法是在适当的边界和初始条件下解有限差分方程，使电磁波的时域特性直接反映出来，直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，用清晰的图像描述复杂的物理过程。网格剖分是FDTD方法的关键问题，Yee提出采用在空间和时间都差半个步长的网格结构，通过类似蛙步跳跃式的步骤用前一时刻的磁、电场值得到当前时刻的电、磁场值，并在每一时刻上将此过程算遍整个空间，于是可得到整个空间域中随时间变化的电、磁场值的解。这些随时间变化的电、磁场值是再用Fourier变换后变到相应频域中的解。 在各向同性媒质中，Maxwell方程中的两个旋度方程具有以下形式(式(1)~(2))。 式中，ε为媒质的介电常数；μ为媒质的磁导率；σ为媒质的电导率；σ*为媒质的等效磁阻率，它们都是空间和时间变量的函数。 在直角坐标系中，矢量式(1)～(2)可以展开成以下六个标量式。 为了用差分离散的代数式恰当地描述电磁场在空间的传播特性，Yee提出了Yee Cell结构，在这种结构中，每一磁场分量总有四个电场分量环绕，同样每一电场分量总有四个磁场分量环绕，Yee对和分量在网格单位上的分布情况如图1所示。为达到精度，Yee计算和时在时间上错开半个步长，用中心差商展开偏微分方程组，得到x轴方向电场和磁场FDTD迭代公式(式(9)~(10))，Y轴和z轴迭代公式与x轴迭代公式成对称形式(略)。 FDTD方法是Maxwell方程的一种近似求解方法，为了保证计算结果的可靠性，必须考虑差分离散所引起的算法稳定性和数值色散问题，时间步长和空间步长应满足(11)~(12)条件。 其中，δ=min(△x，△y，△z)；υmax为电磁波在媒质中传播的最大相速；λmin为电磁波在媒质中的最小波长值。 式中△x，△y和△z分别是在x，y和z坐标方向的空间步长，△t是时间步长，ij和k和n是整数。 3 GIS局部放电电磁仿真和超高频检测 SF6气体绝缘的GIS中局部放电的脉冲持续时间极短，其波头时间仅几个ns。为了简化分析，将局部放电电流看成对称脉冲，一般用如下的Gaussian形状的脉冲模型来表示，根据式13和文献6本文仿真用局部放电源高斯脉冲的峰值电流取30mA，脉冲宽度取5ns，波形如图2所示。 GIS局部放电信号频带较宽，用于接收信号的传感器(天线)应该满足检测要求，本文采用超宽带(300MHz~3000MHz)自补结构的双臂平面等角螺旋天线，天线结构如图3所示。 该天线在一定频率范围内可以近似认为具有非频变天线的特性，因为GIS局放信号的频率是在一个范围内变化，对于不同频率的GIS局放信号，该天线的阻抗不随频率变化，可方便实现天线和传输线的阻抗匹配，避免波形畸变。用HP8753D网络分析仪对天线的驻波比进行测试，结果在300MHz~3000MHz的频率范围内驻波比小于2.0，根据电磁理论当驻波比小于2.0时可以不考虑驻波的影响，表明该平面等角螺旋天线在设计频率具有良好的频响特性，所测结果可靠。 超高频法把GIS看作同轴波导(如图4所示)，局部放电产生的短脉冲沿轴向传播，传感器作为接收天线，接收局部放电所激发的电磁波。 本文针对252KV GIS内高压导体上φ0.05×lcm固定突起发生局部放电进行模拟，GIS内部高压导体外直径为10.2cm，外壳内直径为29.4cm，长度为4米。采用1×l×lcm网格进行剖分，边界用完全匹配层(PML)材料吸收边界，其中绝缘子相对介电常数取3.9。采用IMST Empire电磁仿真软件分别对图4的GIS发生局部放电时内部点1和外部点2处的信号进行仿真，仿真结果如图5所示。 图5(a)和(b)的仿真结果表明在GIS内部发生局部放电时，局部放电脉冲可以激发上升沿很陡的信号，由于其内部为不连续波导结构，电磁波在其内部将引起反射和复杂谐振，频率成分可高达GHz。另外，比较内部点1和外部点2处的仿真结果，内部点1处的信号幅值是外部点2处的两倍，表明信号可以从绝缘缝隙泄漏，但由于绝缘子和缝隙的影响幅值将明显发生衰减，并且信号在绝缘缝隙处发生的折射和散射，外部信号比内部信号复杂。图5(c)表明局部放电频带比较宽，可高达GHz，信号成分较为丰富。 采用外部传感器超高频局部放电检测系统对252KV GIS内高压导体φ0.05×1cm固定突起局部放电进行实测。由于局部放电信号比较微弱，加之高频信号传播过程中衰减较大，在测试系统中采用增益不低于20dB的宽带放大器。在实验过程中对空气中的局部放电高频信号进行衰减特性研究发现该检测系统有效检测范围为17米。在外部点2处(距离GIS外壳绝缘缝隙10cm)的检测结果如图6所示。比较图5(b)和图6表明，仿真结果和实测结果基本一致，这个结论为超高频局部放电检测结果提供了理论支持。 超高频局部放电检测方法已经表明是非常有效的局部放电检测方法，本文借用时域有限差分法从信号的时域特征出发来验证局部放电检测结果，但由于不同电压等级的GIS结构存在差异，以及故障微粒的状态不同，对检测结果都有影响，并且目前还没有找出超高频方法和传统检测方法之间的内在关系，有待进一步深入研究。 4 结论 时域有限差分法对GIS局部放电脉冲所激发的电磁波仿真结果表明，局部放电信号上升沿较陡，频率可达GHz；由于绝缘子以及绝缘缝隙的影响，使得同轴波导结构不连续，将产生很复杂的电磁波。 a.由于绝缘子以及绝缘缝隙的影响，使信号幅值发生明显衰减，外部信号的幅值是内部信号幅值的一半。 b.实验结果和仿真结果基本一致，进一步从理论上论证了超高频局部放电检测方法的有效性。
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