设x为n维列向量，且xTx=1，令H=E-2xxT，求证H是对称正交矩阵。

1. 设x为n维列向量，且xTx=1，令H=E-2xxT，求证H是对称正交矩阵。

证明过程如下：
HT=(E-2xxT)=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H
所以H是对称阵
因为HTH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT
根据集合律
=E-4xxT+4x(xTx)xT
=E
所以HT=H^(-1)
即H是正交矩阵
综上，H是对称正交矩阵
扩展资料在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

2. 设x为n维列向量，且xTx=1，令H=E-2xxT，求证H是对称正交矩阵。

直接计算HT
HT=(E-2xxT)=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H
所以H是对称阵
因为HTH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT
根据集合律
=E-4xxT+4x(xTx)xT
=E
所以HT=H^(-1)
即H是正交矩阵
综上，H是对称正交矩阵

3. 设x为n维列向量，且xTx=1，令H=E-2xxT，求证H是对称正交矩阵。

直接计算HT
HT=(E-2xxT)=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H
所以H是对称阵
因为HTH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT
根据集合律
=E-4xxT+4x(xTx)xT
=E
所以HT=H^(-1)
即H是正交矩阵
综上，H是对称正交矩阵

4. 若α是一个单位向量，证明:Q=E-2αα^T是一个正交矩阵。

证明: 因 Q=E-2αα^T
所 Q^T=E^T-2(αα^T)^T=E-2αα^T
所 QQ^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]
= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)
= E
所A正交矩阵.

5. 设A为n阶着正定矩阵, S为n阶反对称矩阵,证明对于任意n维实向量，有XTSX=0

根据XTSX = （XTSX ）^T= XTS^TX =XT（-S）X =-XTSX
得知
XTSX+XTSX=0
因此XTSX=0

6. 设A是n阶实数矩阵，若对所有n维向量X，恒有X^TAX=0，证明：A为反对称矩阵

X^TAX=0
(X^TAX)^T=X^T(A)^TX=0
X^TAX+X^T(A)^TX=0
X^T[A+(A)^T]X=0
因为A+(A)^T是实对称矩阵
所以A+(A)^T=0
(A)^T=-A
A为反对称矩阵

7. 设A为n阶反对称矩阵，α=(x1.x2....xn)是n维向量。令β=αA，证明α与β正交。 答

这是内积
(α，β)=α乘β^T，即α，β的各个分量分别相乘后，相加。
书中是对的

8. 设x为n维向量，(x^T)x=1,令H=E-2xx^T,求证：H是对称的正交阵

请见下图